Question

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點O為線段BD的中點，直線OC與平面A₁BD所成的角為α，則sin α的值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 連接AC交BD于O，連接OA₁，根據(jù)線面角的定義得到∠AOA₁是直線OC與平面A₁BD所成的角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：連接AC交BD于O，連接OA₁，
則∠AOA₁是直線OC與平面A₁BD所成的角，即∠AOA₁=α，
設(shè)正方體的棱長為1，
則AA₁=1，AC=$\sqrt{2}$，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
OA₁=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則sinα=$\frac{A{A}_{1}}{O{A}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
故選：B

點評 本題主要考查線面角的求解，根據(jù)線面角的定義作出線面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．