Question

19．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿(mǎn)足2f（x）+f′（x）＜0，則不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{2x+4038}}$的解集為（　�。�

• A． {x|x＞-2019}
• B． {x|x＜-2015}
• C． {x|-2019＜x＜-2015}
• D． {x|-2019＜x＜0}

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^2xf（x），可得（-∞，0）上的減函數(shù)，化不等式為g（x+2015）＜g（-4），由單調(diào)性可得x的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵[e^2xf（x）]′=2e^2xf（x）+e^2xf′（x）=e^2x[2f（x）+f′（x）]，
又∵2f（x）+f′（x）＜0，∴[e^2xf（x）]′=e^2x[2f（x）+f′（x）]＜0，
∴函數(shù)g（x）=e^2xf（x）是（-∞，0）上的減函數(shù)． 
由不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{2x+4038}}$可得e^2x+4030f（x+2015）＜e^-8f（-4），
即g（x+2015）＜g（-4），故-4＜x+2015＜0，
解得-2019＜x＜-2015，
故不等式的解集為{x|-2019＜x＜-2015}，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^2xf（x）并利用函數(shù)的單調(diào)性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．