Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上動點，F(xiàn)是AB中點，AC=BC=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求證：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）當E是棱CC₁中點時，求證：CF∥平面AEB₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證CF⊥平面ABB₁，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證CF垂直平面ABB₁內(nèi)兩相交直線垂直，而CF⊥BB₁，CF⊥AB，BB₁∩AB=B，滿足定理條件；
（Ⅱ）取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，欲證CF∥平面AEB₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證CF與平面AEB₁內(nèi)一直線平行即可，而CF∥EG，CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，滿足定理條件．

解答：證明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F(xiàn)是AB中點，
∴CF⊥AB．
又∵BB₁∩AB=B，
∴CF⊥平面ABB₁．
（Ⅱ）證明：取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G．

∵F、G分別是棱AB、AB₁中點，
∴FG∥BB₁，FG=

1

2

BB₁．
又∵EC∥BB₁，EC=

1

2

BB1，
∴FG∥EC，F(xiàn)G=EC．
∴四邊形FGEC是平行四邊形，
∴CF∥EG．
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．

點評：本小題主要考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．