【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=45°,AD=AP=2,AB=DP=,E為CD的中點,點F在線段PB上.試確定點F的位置,使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.
【答案】當時,直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等
【解析】
由已知可證PA⊥底面ABCD,由余弦定理求出,進而有,以A為坐標原點,以DA,AC,AP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Axyz,求出坐標,設(shè)=λ(λ∈[0,1]),求出平面PDC的法向量坐標,而平面ABCD的一個法向量為=(0,0,1),按照空間向量的線面角公式,即可求解.
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,
PA⊥AD,PA平面PAD,∴PA⊥底面ABCD. 以A為坐標原點,
在中,,
以DA,AC,AP所在直線為x軸,y軸,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,
則A(0,0,0),D(-2,0,0),C(0,2,0),
B(2,2,0),E(-1,1,0),P(0,0,2),
∴=(0,2,-2),=(-2,0,-2),
=(2,2,-2).設(shè)=λ(λ∈[0,1]),
則=(2λ,2λ,-2λ),F(2λ,2λ,-2λ+2),
∴=(2λ+1,2λ-1,-2λ+2),
平面ABCD的一個法向量為=(0,0,1).
設(shè)平面PDC的法向量為=(x,y,z),
則∴,令x=1,得=(1,-1,-1).
∵直線EF與平面PDC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等,
,
即,∴2-2λ=,解得,
∴當時,直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,昆明加大了特色農(nóng)業(yè)建設(shè),其中花卉產(chǎn)業(yè)是重要組成部分.昆明斗南毗鄰滇池東岸,是著名的花都,有“全國10支鮮花7支產(chǎn)自斗南”之說,享有“金斗南”的美譽.為進一步了解鮮花品種的銷售情況,現(xiàn)隨機抽取甲、乙兩戶斗南花農(nóng),對其連續(xù)5日的玫瑰花日銷售情況進行跟蹤調(diào)查,將日銷售量作為樣本繪制成莖葉圖如下,單位:扎(20支/扎).
(1)求甲、乙兩戶花農(nóng)連續(xù)5日的日均銷售量,并比較兩戶花農(nóng)連續(xù)5日銷售量的穩(wěn)定性;
(2)從兩戶花農(nóng)連續(xù)5日的銷售量中各隨機抽取一個,求甲的銷售量比乙的銷售量高的概率·
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,直線,,與曲線所圍成的曲邊梯形的面積為.其中,且.
(1)當時,恒成立,求實數(shù)的值;
(2)請指出,,的大小,并且證明;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】足球是世界普及率最高的運動,我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展狀況,社會調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色學(xué)校y(百個) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計算y與x的相關(guān)系數(shù)r,并說明y與x的線性相關(guān)性強弱.
(已知:,則認為y與x線性相關(guān)性很強;,則認為y與x線性相關(guān)性一般;,則認為y與x線性相關(guān)性較):
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個數(shù)(精確到個).
參考公式和數(shù)據(jù):,
,
.
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【題目】《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計算問題,計算術(shù)曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面積計算公式為:弧田面積(弦乘矢+矢乘矢),弧田是由圓。ê喎Q為弧田的。┖鸵詧A弧的端點為端點的線段(簡稱 (弧田的弦)圍成的平面圖形,公式中“弦”指的是弧田的弦長,“矢”等于弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田,其弦長等于,其弧所在圓為圓,若用上述弧田面積計算公式計算得該弧田的面積為,則( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.
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【題目】下圖是一塊平行四邊形園地,經(jīng)測量,.擬過線段上一點 設(shè)計一條直路(點在四邊形的邊上,不計直路的寬度),將該園地分為面積之比為的左,右兩部分分別種植不同花卉.設(shè)(單位:m).
(1)當點與點重合時,試確定點的位置;
(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(3)試確定點的位置,使直路的長度最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的方程為.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)曲線與直線交于點,點的坐標為(3,1),求.
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【題目】已知拋物線和圓,拋物線的焦點為.
(1)求的圓心到的準線的距離;
(2)若點在拋物線上,且滿足, 過點作圓的兩條切線,記切點為,求四邊形的面積的取值范圍;
(3)如圖,若直線與拋物線和圓依次交于四點,證明:的充要條件是“直線的方程為”
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