Question

1．關于θ的方程cosθ=lnsinθ，（θ∈（0，π））的解的個數(shù)為2．

Answer 1

分析 由題意，$θ=\frac{π}{2}$是方程的解，判斷函數(shù)y=cosθ-lnsinθ在（$\frac{π}{2}$，π）上有一個零點，即可得出結論．

解答 解：由題意，$θ=\frac{π}{2}$是方程的解
設y=cosθ-lnsinθ，（θ∈（$\frac{π}{2}$，π）），
則y′=-sinθ-$\frac{cosθ}{sinθ}$，
由y′＞0，可得arccos$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜θ＜π，由y′＜0，可得$\frac{π}{2}$＜θ＜arccos$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
θ=arccos$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$時，cosθ-lnsinθ＜0，θ→π時，cosθ-lnsinθ→+∞，
∴函數(shù)在（$\frac{π}{2}$，π）上有一個零點
綜上所述，函數(shù)有兩個零點，
所以關于θ的方程cosθ=lnsinθ，（θ∈（0，π））的解的個數(shù)為2．
故答案為2．

點評 本題考查方程解的研究，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，正確轉化是關鍵．