Question

設(shè)函數(shù)f(x)=cos(?x+

π

3

)•sin(?x-

π

2

)+cos2?x-

1

4

（?＞0）圖象上的相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為

2

．
（1）求?的值及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b+c=2，A=

π

3

，求f（a）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）先化簡(jiǎn)求得解析式f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

），由周期公式可求得ω的值，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由余弦定理可求得a²=4-3bc，由2=b+c≥2

bc

可求得1≤a≤2，由f（a）=

1

2

sin（πa+

π

6

），從而求得f（a）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

），…（2分）
由條件，T=2=

2π

2ω

⇒ω=

π

2

．
∴f(x)=

1

2

sin(πx+

π

6

)…（4分）
令2kπ-

π

2

≤(πx+

π

6

)≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（5分）
解得單調(diào)遞增區(qū)間：[2k-

2

3

，2k+

1

3

]k∈Z…（6分）
（2）由余弦定理：∵A=

π

3

∴a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc…（7分）
又2=b+c≥2

bc

⇒0＜bc≤1，故1≤a²＜4，
又2=b+c＞a，故1≤a≤2     …（9分）
由f（a）=

1

2

sin（πa+

π

6

），

7π

6

≤πa+

π

6

＜

13π

6

，所以f（a）的值域?yàn)閇-

1

2

，

1

4

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．