Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

4

an+3

，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an+1

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

 ＜7．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1+1=2-

4

an+3

=

2an+2

an+3

，從而得到數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，由此能求出b_n=

n

2

．
（2）當(dāng)n=1和n=2時(shí)，驗(yàn)證不等式成立，當(dāng)n≥3時(shí)，

1

bn2

=

4

n2

＜

4

n(n-1)

=4（

1

n-1

-

1

n

），由此裂項(xiàng)求和法能證明

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

 ＜7．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

4

an+3

，
∴a_n+1+1=2-

4

an+3

=

2an+2

an+3

，…（2分）
又由b_n=

1

an+1

，
則bn+1=

1

an+1+1

=

an+3

2an+2

=

(an+1)+2

2(an+1)

=

1

an+1

+

1

2

=bn+

1

2

，…（6分）
又b1=

1

2

，所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
∴b_n=

n

2

．…（8分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

b12

=4＜7，不等式成立；…（9分）
當(dāng)n=2時(shí)，左邊=

1

b12

+

1

b22

=4+1=5＜7，不等式成立； …（10分）
當(dāng)n≥3時(shí)，

1

bn2

=

4

n2

＜

4

n(n-1)

=4（

1

n-1

-

1

n

），
左邊=

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

 ＜4+1+4（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

）
=5+4（

1

2

-

1

n

）=7-

4

n

＜7不等式成立，
∴

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

 ＜7．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．