Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）解關(guān)于x的方程f（x）=0；
（3）當(dāng)a≥1時，f（x）在[2，4]上的最小值為5，求a的值．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，當(dāng)a≠0時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，需要討論a＞0，a＜0分別進(jìn)行求解
（2）方程f（x）=0，需要考慮二次項(xiàng)系數(shù)a=0是否為0，當(dāng)a=0時，解一次方程即可求解，當(dāng)a≠0時，通過討論△=4-4a①若△＜0，②若△=0，③若△＞0分別求解
（3）當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1開口向上，對稱軸為x=

1

a

∈(0，1]，結(jié)合二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的單調(diào)性可求最小值，從而可求a

解答：解：（1）當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；…（1分）
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1開口向上，對稱軸為x=

1

a

∴函數(shù)f（x）在(-∞，

1

a

]上為減函數(shù)，在[

1

a

，+∞)上為增函數(shù)        …（3分）
當(dāng)a＜0，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1開口向下，對稱軸為x=

1

a

∴函數(shù)f（x）在(-∞，

1

a

]上為增函數(shù)，在[

1

a

，+∞)上為減函數(shù)      …（5分）
（2）方程f（x）=ax²-2x+1=0，
當(dāng)a=0時，方程-2x+1=0有1個實(shí)根x=

1

2

，…（6分）
當(dāng)a≠0時，△=4-4a…（7分）
①若△＜0，即a＞1時，方程ax²-2x+1=0沒有實(shí)根      …（8分）
②若△=0，即a=1時，方程ax²-2x+1=0有1個實(shí)根x=1…（9分）
③若△＞0，即a＜1，且a≠0時，方程ax²-2x+1=0有2個實(shí)根x=

1± 1-a

a

…（10分）
綜上：當(dāng)a＞1時，方程f（x）=0沒有實(shí)根
當(dāng)a=0時，方程f（x）=0有1個實(shí)根x=

1

2

當(dāng)a=1時，方程f（x）=0有1個實(shí)根x=1
當(dāng)a＜1，且a≠0時，方程f（x）=0有2個實(shí)根x=

1± 1-a

a

…（11分）
（3）當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1開口向上，對稱軸為x=

1

a

∈(0，1]
∴f（x）在區(qū)間[2，4]上為增函數(shù)                            …（12分）
∴f（x）_min=f（2）=4a-3=5，得a=2…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，二次函數(shù)與二次方程之間的相互轉(zhuǎn)化，及含有參數(shù)的二次方程的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．