Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$（a為常數(shù)且a＞0）在定義域上為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出f（-x），由函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)可得$\frac{a{e}^{x}-1}{a+{e}^{x}}$=-$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，解可得a=1；即可得函數(shù)f（x）的解析式為y=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$，對(duì)函數(shù)的解析式變形可得e^x=$\frac{1-y}{1+y}$，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得$\frac{1-y}{1+y}$＞0，解可得y的范圍，即可得函數(shù)的值域．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，則f（-x）=$\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}$=$\frac{a-\frac{1}{{e}^{x}}}{1+\frac{a}{{e}^{x}}}$=$\frac{a{e}^{x}-1}{a+{e}^{x}}$，
又由函數(shù)f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定義域上為奇函數(shù)，
則有$\frac{a{e}^{x}-1}{a+{e}^{x}}$=-$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，
解可得a=1；
即函數(shù)的解析式為y=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$，
變形可得e^x=$\frac{1-y}{1+y}$，
又由e^x＞0，則有$\frac{1-y}{1+y}$＞0，
解可得-1＜y＜1，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，注意由奇函數(shù)的特殊性質(zhì)求出a的值．