一動圓與圓A:(x+5)2+y2=1和圓B:(x-5)2+y2=81都外切
(Ⅰ)動圓的圓心M的軌跡為曲線C,求曲線C的軌跡方程
(Ⅱ)點P是曲線C上的點,且∠APB=120°,求△APB的面積.
分析:(I)求出兩圓圓心分別為A(-5,0)、B(5,0),半徑分別為r1=1、r2=9.由動圓與圓A和圓B都外切,列式化簡得|MB|-|MA|=8(常數(shù)),從而得到點M的軌跡是以為A、B焦點的雙曲線的左支.再利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念加以計算,即可求出曲線C的軌跡方程;
(II)根據(jù)余弦定理和雙曲線的定義列式,聯(lián)解得到|PA|•|PB|=12,再由三角形的面積公式加以計算,即可得到△APB的面積.
解答:解:(Ⅰ)∵圓A方程為(x+5)2+y2=1,∴圓心為A(-5,0),半徑r1=1,
同理可得圓B的圓心為B(5,0),半徑r2=9.
設(shè)動圓的半徑為r,由于動圓與圓A和圓B都外切,
可得|MA|=r+1且|MB|=r+9,得|MB|-|MA|=8(常數(shù)).
因此,點M的軌跡是以為A、B焦點的雙曲線的左支,
設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
,則c=5,2a=8,可得a=4,b=
c2-a2
=3,
∴雙曲線的方程為
x2
16
-
y2
9
=1
,得所求曲線C的軌跡方程為
x2
16
-
y2
9
=1(x≤-4)

(Ⅱ)∵|PB|-|PA|=8,|AB|=10,且∠APB=120°
∴由余弦定理,得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|cos120°,
即|PA|2+|PB|2+|PA|•|PB|=100
又∵(|PA|-|PB|)2=|PA|2+|PB|2-2•|PA|•|PB|=64,
∴兩式相減,得|PA|•|PB|=12,
因此,△APB的面積為S=
1
2
|PA|•|PB|•sin12 
=3
3
點評:本題給出動圓滿足的條件,求圓心的軌跡方程,著重考查了圓與圓的位置關(guān)系、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和余弦定理等知識,屬于中檔題.
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