Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，離心率，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，點(diǎn)M是橢圓上異于A₁、A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線MA₁、MA₂的斜率分別為K_MA1、K_MA2，證明K_MA1•K_MA2為定值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程，A₁、A₂為長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，M為橢圓上異于A₁、A₂的點(diǎn)，K_MA1、K_MA2分別為直線MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得K_MA1•K_MA2=________（只需直接填入結(jié)果即可，不必寫(xiě)出推理過(guò)程）．

Answer 1

-
分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，建立方程，求出幾何量，從而可得橢圓方程；
（Ⅱ）由橢圓方程得A₁（-，0），A₂（，0），設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀），表示出直線MA₁、MA₂的斜率分別為K_MA1、K_MA2，利用M再橢圓上，代入計(jì)算，可得K_MA1•K_MA2是定值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的結(jié)論可得K_MA1•K_MA2=-．
解答：（Ⅰ）解：∵離心率，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切
∴，b==
∴a=
∴橢圓方程為 …（4分）
（Ⅱ）證明：由橢圓方程得A₁（-，0），A₂（，0），
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀），則，∴
∵，
∴=-
∴K_MA1•K_MA2是定值 …（10分）
（Ⅲ）解：K_MA1•K_MA2=- …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，證明K_MA1•K_MA2為定值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．