已知函數(shù)f(x)=1-(-5≤x≤0),點(diǎn)(-2,-4)在它的反函數(shù)的圖象上.

(1)求f-1(x);

(2)判定f-1(x)的單調(diào)性,并用定義證明.

解:(1)∵(-2,-4)在反函數(shù)圖象上,

∴(-4,-2)在原函數(shù)圖象上,則有-2=1-,得a=-1.

∴f(x)=1-.

∵-5≤x≤0,∴f(x)∈［-4,1］.

由y=1-解得x2=-(y-1)2+25.

又-5≤x≤0,

∴x=-.交換x、y得f-1(x)=-  (-4≤x≤1).

(2)f-1(x)的單調(diào)區(qū)間為［-4,1］,任取x1、x2∈［-4,1］,設(shè)x1＜x2,

則f-1(x1)-f-1(x2)=

∵-4≤x1＜x2≤1,

∴x1-x2＜0,x1+x2-2＜0.

∴f-1(x1)-f-1(x2)＞0,即f-1(x1)＞f-1(x2).

∴f-1(x)在［-4,1］上遞減.

說(shuō)明:在以上證明中,進(jìn)行了分子有理化,然后判斷f-1(x1)-f-1(x2)的符號(hào),這種思想在解題中常用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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