Question

判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;

(2)f(x)=(x-1)·;

(3)f(x)=;

(4)f(x)=

Answer 1

剖析:根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.

解:(1)函數(shù)的定義域x∈(-∞,+∞),對(duì)稱于原點(diǎn).

    ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),

    ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函數(shù).

    (2)先確定函數(shù)的定義域.由≥0,得?-1≤x＜1,其定義域不對(duì)稱于原點(diǎn)，

    所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

    (3)去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)定義判斷.

    由

    得

    故f(x)的定義域?yàn)椋?1，0］∪(0，1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有x+2＞0.從而有f(x)=，這時(shí)有f(-x)==-f(x),故f(x)為奇函數(shù).

    (4)∵函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0,

    ∴f(-x)=(-x)［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x)(x＞0).當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0,

    ∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x＜0).

    故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

講評(píng):(1)分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明.

    (2)判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式.