Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{ωx}{2}$+1（ω＞0），直線y=$\sqrt{3}$與函數(shù)f（x）的圖象相鄰兩交點的距離為π．
（1）求ω的值；
（2）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若點（$\frac{B}{2}$，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式及變形，兩角差的正弦公式化簡解析式，由題意和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出周期，由三角函數(shù)的周期公式求出ω的值；
（2）由正弦函數(shù)圖象的對稱中心和題意列出方程，由內(nèi)角的范圍求出角B，根據(jù)內(nèi)角和定理用A表示出C，由銳角三角形列出不等式組，求出A的范圍，代入sinA+sinC利用兩角和差的正弦公式化簡，由整體思想、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出sinA+sinC的范圍．

解答 解：（1）f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{ωx}{2}$+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$cosωx-cosωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$cosωx
=$\sqrt{3}sin（ωx-\frac{π}{3}）$…（2分）
∵直線y=$\sqrt{3}$與函數(shù)f（x）的圖象相鄰兩交點的距離為π，
∴周期T=$π=\frac{2π}{ω}$，解得ω=2…（4分）
（2）∵點（$\frac{B}{2}$，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，
∴2×$\frac{B}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），則B=kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z），
由0＜B＜π得B=$\frac{π}{3}$，…（5分）
則C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-A$，
因為銳角三角形  所以$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$…（8分）
 所以sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}-A$）
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$   …（10分）
由$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$得，$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
則$\frac{\sqrt{3}}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，
所以$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{3}{2}，\sqrt{3}]$  …（12分）

點評 本題考查了二倍角余弦公式及變形，兩角和差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查整體思想，化簡、變形能力．