Question

如圖1是一個(gè)直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，．求此幾何體的體積．

Answer 1

分析：因原幾何體是不規(guī)則幾何體，故需要用割補(bǔ)法進(jìn)行求解，過B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，則幾何體分成三棱柱和四棱錐，由題意求出四棱錐的高，代入對(duì)應(yīng)的體積公式分別求出它們的體積，最后要加在一起．

解答：解：過B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分別交AA₁，CC₁于A₂，C₂．如圖2，
則原幾何體可視為四棱錐B-ACC₂A₂與三棱柱A₁B₁C₁-A₂BC₂的組合體．
作BH⊥A₂C₂于H，則BH是四棱錐的高，
∵A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，∴BH=

2

2

，
∴VB-ACC2A2=

1

3

SACC2A2•BH=

1

3

•

1

2

•（1+2）

2

•

2

2

=

1

2

∴VA1B1C1=S△A1B1C1-BB₁=1，
故所求幾何體體積為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用割補(bǔ)法求簡(jiǎn)單幾何體的體積，即根據(jù)幾何體的特征對(duì)幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)母钛a(bǔ)后，通過題意求出每部分的體積，再加在一起即可，考查了空間想象能力．