Question

已知圓C₁的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求圓的標準方程；
（2）設點A（x₀，y₀）為圓上任意一點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足

OQ

=m

OA

+n

ON

，（其中m+n=1，m，n≠0，m為常數(shù)），試求動點Q的軌跡方程C₂．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線和圓相切的等價條件求出圓的半徑，即可求圓的標準方程；
（2）設出動點Q的坐標，根據(jù)向量共線，利用代入法即可求出動點Q的軌跡方程C₂．

解答： 解：（1）∵圓C₁的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l₁：x-y-2

2

=0相切，
∴圓心到直線的距離d=r，
r=

|0-2 2 |

1+1

=

2 2

2

=2，
則圓的標準方程為x²+y²=4．
（2）設動點Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x軸，N（x₀，0）
由題意（x，y）=m（x₀，y₀）+n（x₀，0），
∴

x=(m+n)x0=x0 y=my0

即

x0=x y0= 1 m y

，
將A(x，

1

m

y)代入x²+y²=4得

x2

4

+

y2

4m2

=1．

點評：本題主要考查圓的標準方程和與圓有關的軌跡方程的求解，根據(jù)條件建立圓心到直線的距離關系以及利用代入法是解決求軌跡問題的基本方法．