Question

12．平面上到點（1，0）的距離與到直線1：x═-1距離相等的點的軌跡方程為為C，O坐標原點，P是C上一點，若△OPF是等腰三角形，則|OP|=$\frac{3}{2}$或1．

Answer 1

分析 確定點的軌跡為拋物線，求出拋物線的焦點坐標，然后根據△OPF是等腰三角形，則OP=OF或OP=PF，然后分別進行求解即可．

解答 解：∵平面上到點（1，0）的距離與到直線1：x=-1距離相等，
∴點的軌跡為拋物線，拋物線C：y²=4x，焦點坐標為（1，0），
∵△OPF是等腰三角形，
∴OP=OF或OP=PF或OF=PF（舍去因拋物線上點不可能滿足），
當OP=OF時，|PO|=|OF|=1，
當OP=PF時，點P在OF的垂直平分線上，則點P的橫坐標為$\frac{1}{2}$，
點P在拋物線上，則縱坐標為±$\sqrt{2}$，
∴|PO|=$\sqrt{\frac{1}{4}+2}$=$\frac{3}{2}$，
綜上所述：|PO|=$\frac{3}{2}$或1．
故答案為：$\frac{3}{2}$或1．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質，以及分類討論的數學思想，同時考查了兩點的距離公式的應用，屬于中檔題．