Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x∈Q\\ π，x∈{∁_R}Q\end{array}$，下列結(jié)論中不正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)值域?yàn)閇1，π]
• B． 此函數(shù)不單調(diào)
• C． 此函數(shù)為偶函數(shù)
• D． 方程f[f（x）]=x有兩解

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別結(jié)合函數(shù)值域，單調(diào)性奇偶性以及函數(shù)與方程的關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：A．由分段函數(shù)的表達(dá)式得x∈Q時(shí)，f（x）=1，當(dāng)x∈C_RQ時(shí)，f（x）=π，
則函數(shù)的值域?yàn)閧1，π}，故A錯(cuò)誤，
B．∵當(dāng)x∈Q時(shí)，f（x）=1，當(dāng)x∈C_RQ時(shí)，f（x）=π，
∴函數(shù)不具備單調(diào)性，故B正確，
C．若x∈Q時(shí)，則-x∈Q，此時(shí)f（-x）=f（x）=1，
當(dāng)x∈C_RQ時(shí)，-x∈C_RQ時(shí)，f（-x）=f（x）=π，
綜上f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故C正確，
D．當(dāng)x∈Q時(shí)，f（x）=1，則由f[f（x）]=x得f（1）=x，此時(shí)x=1，
當(dāng)x∈C_RQ時(shí)，f（x）=π，則由f[f（x）]=x得f（π）=x，此時(shí)x=π，
故方程f[f（x）]=x有兩解，故D正確，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與分段函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，涉及函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域等性質(zhì)．