Question

1．如果定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈R，都有f（-x）≠-f（x），則稱該函數(shù)是“β函數(shù)”．
（Ⅰ） 分別判斷下列函數(shù)：①y=2^x；②y=2x+1； ③y=x²-2x-3，是否為“β函數(shù)”？（直接寫出結(jié)論）
（Ⅱ） 若函數(shù)f（x）=sinx+cosx+a是“β函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ） 已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x∈A}\\{x，x∈B}\end{array}\right.$是“β函數(shù)”，且在R上單調(diào)遞增，求所有可能的集合A與B．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)“β函數(shù)”的定義判定．①、②是“β 函數(shù)”，③不是“β函數(shù)”；
（Ⅱ）由題意，對(duì)任意的x∈R，f（-x）+f（x）≠0，故f（-x）+f（x）=2cosx+2a
由題意，對(duì)任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠-cosx即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍
（Ⅲ）（1）對(duì)任意的x≠0
分（a）若x∈A且-x∈A，（b）若x∈B且-x∈B，驗(yàn)證
（2）假設(shè)存在x₀＜0，使得x₀∈A，則由x₀＜$\frac{{x}_{0}}{2}$，故f（x₀）＜f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）．
（a）若$\frac{{x}_{0}}{2}∈A$，則f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+1＜{{x}_{0}}^{2}+1=f（{x}_{0}）$，矛盾，
（b）若$\frac{{x}_{0}}{2}∈B$，則f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{x}_{0}}{2}＜0＜{{x}_{0}}^{2}+1=f（{x}_{0}）$，矛盾．
（3）假設(shè)0∈B，則f（-0）=-f（0）=0，矛盾．故0∈A，故A=[0，+∞），B=（-∞，0）．

解答 解：（Ⅰ）①、②是“β 函數(shù)”，③不是“β函數(shù)”．…（3分）
（Ⅱ）由題意，對(duì)任意的x∈R，f（-x）≠-f（x），即f（-x）+f（x）≠0，．
因?yàn)閒（x）=sinx+cosx+a，所以f（-x）=-sinx+cosx+a．
故f（-x）+f（x）=2cosx+2a
由題意，對(duì)任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠-cosx．…（6分）
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）（1）對(duì)任意的x≠0
（a）若x∈A且-x∈A，則-x≠x，f（-x）=f（x），這與y=f（x）在R上單調(diào)遞增矛盾，（舍），
（b）若x∈B且-x∈B，則f-（x）=-x=-f（x），這與y=f（x）是“β函數(shù)”矛盾，（舍）．
此時(shí)，由y=f（x）的定義域?yàn)镽，故對(duì)任意的x≠0，x與-x恰有一個(gè)屬于A，另一個(gè)屬于B．
（2）假設(shè)存在x₀＜0，使得x₀∈A，則由x₀＜$\frac{{x}_{0}}{2}$，故f（x₀）＜f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）．
（a）若$\frac{{x}_{0}}{2}∈A$，則f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+1＜{{x}_{0}}^{2}+1=f（{x}_{0}）$，矛盾，
（b）若$\frac{{x}_{0}}{2}∈B$，則f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{x}_{0}}{2}＜0＜{{x}_{0}}^{2}+1=f（{x}_{0}）$，矛盾．
綜上，對(duì)任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（-∞，0）⊆B，則（0，+∞）⊆A．
（3）假設(shè)0∈B，則f（-0）=-f（0）=0，矛盾．故0∈A
故A=[0，+∞），B=（-∞，0）．
經(jīng)檢驗(yàn)A=[0，+∞），B=（-∞，0）．符合題意   …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義函數(shù)，弄清定義含義是關(guān)鍵，分析法是本題的基本方法，屬于難題．