Question

20．已知幾何體P-ABCD如圖，面ABCD為矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB為正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分別為AC、BP中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：EF∥面PCD；
（Ⅱ）求直線BP與面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)BD，則E為BD的中點(diǎn)，利用中位線定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；
（II）取AP的中點(diǎn)H，連結(jié)HB，HC，過B作BO⊥HC于O，連結(jié)OP．則可證AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，結(jié)合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO為PB與平面PAC所成的角．利用勾股定理計算BH，CH，OB，得出sin∠BPO=$\frac{BO}{BP}$．

解答 證明：（I）連結(jié)BD，
∵四邊形ABCD是矩形，E是AC的中點(diǎn)，
∴E是BD的中點(diǎn)．又F是BP的中點(diǎn)，
∴EF∥PD，又EF?平面PCD，PD?平面PBD，
∴EF∥平面PCD．
（II）取AP的中點(diǎn)H，連結(jié)HB，HC，過B作BO⊥HC于O，連結(jié)OP．
∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∵AP?平面PAB，
∴BC⊥AP，
∵△PAB是等邊三角形，∴AP⊥HB，
又BC?平面BCH，BH?平面BCH，BC∩BH=B，
∴AP⊥平面BCH，又OB?平面BCH，
∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH?平面PAC，AP?平面PAC，CH∩AP=H，
∴OB⊥平面PAC．
∴∠BPO為PB與平面PAC所成的角．
∵AB=2，BC=1，∴BH=$\sqrt{3}$，CH=$\sqrt{B{C}^{2}+B{H}^{2}}$=2，
∴BO=$\frac{BC•BH}{CH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠BPO=$\frac{BO}{BP}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
即直線BP與面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，作出線面角并注明是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．