Question

11．點M為棱長是2$\sqrt{2}$的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球O球面上的動點，點N為B₁C₁的中點，若滿足DM⊥BN，則動點M的軌跡的長度為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{5}π}}{5}$
• B． $\frac{{4\sqrt{5}π}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{10}π}}{5}$
• D． $\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$

Answer 1

分析 取BB₁的中點H，連結(jié)CH，則CH⊥NB，DC⊥NB，可得NB⊥面DCH，即動點M的軌跡就是平面DCH與內(nèi)切球O的交線，求得截面圓的半徑r=$\sqrt{{R}^{2}-8t56a8h^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，動點M的軌跡的長度為截面圓的周長2πr

解答 解：如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球O的半徑R=$\sqrt{2}$，由題意，取BB₁的中點H，連結(jié)CH，則CH⊥NB，DC⊥NB，∴NB⊥面DCH，
∴動點M的軌跡就是平面DCH與內(nèi)切球O的交線，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長是2$\sqrt{2}$，∴O到平面DCH的距離為d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
截面圓的半徑r=$\sqrt{{R}^{2}-b10xpti^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，動點M的軌跡的長度為截面圓的周長2πr=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
故選：D

點評 本題考查了空間動點軌跡問題，弄清動點的軌跡是解題關(guān)鍵，屬于難題．