Question

8．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，A=2B，sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（I ）求cosC的值；
（II）求$\frac{c}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB的值，利用二倍角公式可求sinA，cosA的值，由三角形內(nèi)角和定理，兩角和的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，根據(jù)正弦定理即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵B=$\frac{A}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（2分）
∵A=2B，
∴sinA=2sinBcosB=$\frac{4}{5}$，cosA=cos2B=1-2sin²B=$\frac{3}{5}$，…（4分）
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=-$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．…（7分）
（Ⅱ）sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{11\sqrt{5}}{25}$，…（9分）
根據(jù)由正弦定理，$\frac{c}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{11}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的余弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．