Question

（Ⅰ）若對?x∈R，不等式|x-1|+x+|x+1|≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）已知min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

，若y=min{

3

|x-1|

，

1

|x-9|

}，求y的最大值及相應(yīng)的實(shí)數(shù)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式

分析：對第（Ⅰ）小問，只需a小于或等于|x-1|+x+|x+1|的最小值，從而轉(zhuǎn)化為求|x-1|+x+|x+1|的最小值問題．分“x≥1”“-1＜x＜1”“x≤-1”討論，作出其圖象，即得最小值；
對第（Ⅱ）小問，由已知可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，從而畫出此函數(shù)的圖象，找到最高點(diǎn)，即可求得y的最大值及相應(yīng)的實(shí)數(shù)x的值．

解答： 解：（Ⅰ）令函數(shù)y=|x-1|+x+|x+1|，
由題意知，只需a≤y的最小值即可．
當(dāng)x≥1時(shí)，y=（x-1）+x+（x+1）=3x；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，y=（1-x）+x+（x+1）=x+2；
當(dāng)x≤-1時(shí)，y=（1-x）+x（-1-x）=-x．
作出此函數(shù)的圖象，如圖1所示，
可知當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最小值y_min=-（-1）=1．
所以a≤1．
（Ⅱ）作出函數(shù)y=

3

x-1

的圖象，再將y＜0的部分沿x軸對折，即得y=

3

|x-1|

的圖象，
同理可得y=

1

|x-9|

的圖象．
聯(lián)立

3

|x-1|

=

1

|x-9|

，有x-1=3（x-9），或x-1=-3（x-9），得x=7或13．
當(dāng)x=7時(shí)，y=

1

2

；當(dāng)x=13時(shí)，y=

1

4

．
從而得y=

3

|x-1|

的圖象與y=

1

|x-9|

的圖象的交點(diǎn)為A（7，

1

2

），B（13，

1

4

）．
由圖象知，當(dāng)x≤7時(shí)，y=

1

|x-9|

=

1

9-x

；
當(dāng)7＜x＜13時(shí)，y=

3

|x-1|

=

3

x-1

；
當(dāng)x≥13時(shí)，y=

1

|x-9|

=

1

x-9

．
∴y有最大值

1

2

，此時(shí)，x=7．

點(diǎn)評：本題考查了絕對值函數(shù)的最值問題，利用圖象法求解具有直觀、明確等優(yōu)點(diǎn)，關(guān)鍵是先將函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式，再畫出其圖象，尋找圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．