Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P，Q是橢圓C上的兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓C過點(diǎn)（-

2

，1），求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若以P，F(xiàn)₁，Q，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求b²的值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若直線PQ過F₁，且|PF₁|=2|QF₁|，求|PQ|．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由于橢圓C過點(diǎn)（-

2

，1），代入橢圓的方程即可解得b²．
（II）由于以P，F(xiàn)₁，Q，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，可得P，Q是橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，因此b=c=

2

2

a即可得出．
（III）由（I）可得橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．F₁(-

2

，0)．設(shè)直線PQ的方程為：x=my-

2

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用|PF₁|=2|QF₁|，可得

PF1

=2

F1Q

，即-y₁=2y₂．
聯(lián)立解得m2=

2

7

．再利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答： 解：（I）由于橢圓C過點(diǎn)（-

2

，1），代入橢圓的方程可得：

(- 2 )2

4

+

1

b2

=1，解得b²=2．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）∵以P，F(xiàn)₁，Q，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
∴P，Q是橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，∴b=c=

2

2

a=

2

．
∴b²=2．
（III）由（I）可得橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．F₁(-

2

，0)．
設(shè)直線PQ的方程為：x=my-

2

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x=my- 2 x2+2y2=4

，化為(2+m2)y2-2

2

my-2=0．
∴y₁+y₂=

2 2 m

2+m2

，y1y2=

-2

2+m2

．（*）
∵|PF₁|=2|QF₁|，
∴

PF1

=2

F1Q

，∴-y₁=2y₂．
與（*）聯(lián)立解得m2=

2

7

．
∴|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+ 2 7 )[ 8× 2 7 ( 16 7 )2 -4× -2 2+ 2 7 ]

=

15 7

28

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．