Question

若常數(shù)k＞0，對于任意非負實數(shù)a，b，都有a²+b²+kab≥c（a+b）² 恒成立，求最大的常數(shù)c．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：討論若a=b=0，則不等式顯然成立；若a=0，b≠0或b=0，a≠0，則有c≤1，則c的最大值為1；若a，b均大于0，則運用參數(shù)分離，討論k=2，k＞2.0＜k＜2三種情況，運用基本不等式，即可求得右邊的最值，進而判斷c的最大值．

解答： 解：若a=b=0，則不等式顯然成立；
若a=0，b≠0或b=0，a≠0，則有c≤1，則c的最大值為1；
若a，b均大于0，則原不等式即為
c≤

a2+b2+kab

(a+b)2

=1+

k-2

a b + b a +2

，
若k=2，則c≤1，c的最大值為1；
若k＞2，則1+

k-2

a b + b a +2

≤1+

k-2

2+2

=

k+2

4

，則原不等式不恒成立；
若0＜k＜2，則1+

k-2

a b + b a +2

≥1+

k-2

2+2

=

k+2

4

，即有c≤

k+2

4

，c的最大值為

k+2

4

．
綜上可得，最大的常數(shù)c為1．

點評：本題考查不等式的恒成立問題，考查分類討論的思想方法，及基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題和易錯題．