Question

在圓C₁：x²+y²=1上任取一點P，過P作y軸的垂線段PD，D為垂足，動點M滿足

MD

=2

MP

，當點P在圓C₁上運動時，點M的軌跡為曲線C₂
（1）求曲線C₂的方程
（2）是否存在過點A（2，0）的直線l交曲線C₂于點B，使

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

），且點T在圓C₁上？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），D（0，y₀）．則

x

2 0

+

y

2 0

=1．由于

MD

=2

MP

，可得

-x=2(x0-x) y0-y=2(y0-y)

，化為

x0=x y0=y

代入點P的軌跡方程即可．
（1）假設(shè)存在過點A（2，0）的直線l交曲線C₂于點B，使

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

），且點T在圓C₁上．設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與曲線C₂方程聯(lián)立化為（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0，利用△＞0，化為k2＜

1

3

．利用向量運算、根與系數(shù)的關(guān)系可得x_T=

5

5

×

4k2

1+k2

，y_T=

5

5

×

-4k

1+k2

．代入 圓C₁，解出即可．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），D（0，y₀）．則

x

2 0

+

y

2 0

=1．
∵

MD

=2

MP

，
∴

-x=2(x0-x) y0-y=2(y0-y)

，化為

x0=x y0=y

∴點M的軌跡為曲線：x²+y²=1．
（2）假設(shè)存在過點A（2，0）的直線l交曲線C₂于點B，使

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

），且點T在圓C₁上．
設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-2) x2+y2=1

，化為（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0，
△＞0，化為k2＜

1

3

．
∴x₁+x₂=

4k2

1+k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=

4k3

1+k2

-4k=

-4k

1+k2

，
∴

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

）=

5

5

(x1+x2，y1+y2)，
∴x_T=

5

5

×

4k2

1+k2

，y_T=

5

5

×

-4k

1+k2

．
代入 圓C₁，可得

1

5

(

4k2

1+k2

)2+

1

5

(

-4k

1+k2

)2=1，
化為11k⁴+6k²-5=0，
解得k2=

5

11

＞

1

3

．
因此不存在過點A（2，0）的直線l交曲線C₂于點B，使

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

），且點T在圓C₁上．

點評：本題考查了圓的方程、直線與圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．