Question

9．當(dāng)n∈N^*時(shí)，S_n=1+2+3+…+（n+3），T_n=$\frac{（n+3）（n+4）}{2}$．
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n與T_n的數(shù)量關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知猜想：${S_n}={T_n}，（n∈{N^*}）$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明分兩步，第一步只需驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)成立即可，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)有S_k=T_k（k≥1，k∈N^*），利用并化簡使得當(dāng)n=k+1時(shí)也成立即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=1+2+3+…+（n+3），
∴S₁=1+2+3+4=10，S₂=1+2+3+4+5=15，
∵T_n=$\frac{（n+3）（n+4）}{2}$，
∴T₁=$\frac{（1+3）（1+4）}{2}$=10，${T_2}=\frac{（2+3）（2+4）}{2}=15$；
（Ⅱ）由（I）可知猜想：${S_n}={T_n}，（n∈{N^*}）$，即1+2+3+…+（n+3）=$\frac{（n+3）（n+4）}{2}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，有S_k=T_k（k≥1，k∈N^*），則當(dāng)n=k+1時(shí)，
S_k+1=S_k+（k+4）
=$\frac{（k+3）（k+4）}{2}+（k+4）$
=$\frac{（k+3）（k+4）+2（k+4）}{2}=\frac{（k+4）（k+5）}{2}$
=$\frac{{[{（k+1）+3}][{（k+1）+4}]}}{2}$
=T_k+1，即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立；
由①、②可知，對任意n∈N^*，S_n=T_n都成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．