Question

20．（1）通過計算可得下列等式：
2³-1³=3×1²+3×1+1；
3³-2³=3×2²+3×2+1；
4³-3³=3×3²+3×3+1；
…
（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1；
將以上各等式兩邊分別相加，得
（n+1）³-1³=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，
即：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）
類比上述求法，試求出1³+2³+3³+…+n³的值．
（2）用數(shù)學歸納法證明第（1）問所得結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）通過類比寫出前幾項，進而歸納猜想即可；
（2）通過歸納推理的步驟，分兩步來證明，第一步驗證當n=1時結(jié)論成立，第二步假設(shè)當n=k（k≥1）時結(jié)論成立，則通過等量代換、化簡計算，得出此時也成立即可．

解答 解：（1）通過計算可得下列等式：
2⁴-1⁴=4×1³+6×1²+4×1+1；
3⁴-2⁴=4×2³+6×2²+4×2+1；
4⁴-3⁴=4×3³+6×3²+4×3+1；
…
（n+1）⁴-n⁴=4×n³+6×n²+4×n+1；
將以上各等式兩邊分別相加，得
（n+1）⁴-1⁴=4（1³+2³+3³+…+n³）+6（1²+2²+3²+…+n²）+4（1+2+3+…+n）+n，
∵1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），
∴[（n+1）²-1][（n+1）²+1]=4（1³+2³+3³+…+n³）+6•$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）+4•$\frac{n（n+1）}{2}$+n，
∴1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$[n²（n+1）²]；
（2）由（1）可知：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$[n²（n+1）²]，
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，結(jié)論顯然成立；
②假設(shè)當n=k（k≥1）時，有1³+2³+3³+…+k³=$\frac{1}{4}$[k²（k+1）²]，
則當n=k+1時，1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=$\frac{1}{4}$[k²（k+1）²]+（k+1）³
=$\frac{1}{4}$（k+1）²[k²+4（k+1）]
=$\frac{1}{4}$（k+1）²（k+2）²，
即當n=k+1時，結(jié)論也成立；
由①②可知，1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$[n²（n+1）²]．

點評 本題考查類比推理及數(shù)學歸納法，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．