Question

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：元）與日產(chǎn)里x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C=10000+20x，每日的銷售額R（單位：元）與日產(chǎn)量x滿足函數(shù)關(guān)系式
R=

- 1 30 x3+ax2 +290x，0＜x＜120 20400，x＞120

已知每日的利潤(rùn)y=R-C，且當(dāng)x=30時(shí)y=-100．
（I）求a的值；
（II）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，毎日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)每日的利潤(rùn)y=R-C建立函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)當(dāng)x=30時(shí)y=-100可求出a的值；
（II）當(dāng)0＜x＜120時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，當(dāng)x≥120時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，比較可求出所求．

解答：解：（I）由題意可得：y=

- 1 30 x3+ax2 +270x-10000，0＜x＜120 10400-20x，x≥120

∵當(dāng)x=30時(shí)y=-100
∴-100=-

1

30

×30³+a×30²+270×30-10000
解得 a=3
（II）當(dāng)0＜x＜120時(shí)，y=-

1

30

×x³+3x²+270x-10000
y′=-

1

10

x²+6x+270
由y′=-

1

10

x²+6x+270=0可得：x=90或x=-30（舍）
所以當(dāng)x∈（0，90）時(shí)，原函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)x∈（90，120）時(shí)，原函數(shù)是減函數(shù)
所以當(dāng)x=90時(shí)，y取最大值14300
當(dāng)x≥120時(shí)，y=10400-20x≤8000
所以當(dāng)日產(chǎn)量為90噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大值14300元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．