Question

15．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+$\frac{1-x}{1+x}$，x＞0，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，由f（x）在x=1處取得極值，f′（1）=0，解得即可．
（2）求導(dǎo)函數(shù)，由于分母恒正，故由分子的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

解答 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得，f′（x）=$\frac{a}{ax+1}$-$\frac{2}{（1+x）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+a-2}{（ax+1）（1+x）^{2}}$
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得a=1，
（2）f′（x）=$\frac{a{x}^{2}+a-2}{（ax+1）（1+x）^{2}}$，
∵x≥0，a＞0，
∴ax+1＞0，
①當(dāng)a≥2時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由f'（x）＞0解得x＞$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，由f'（x）＜0解得x＜$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$），單調(diào)增區(qū)間為（$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，合理分類(lèi)是關(guān)鍵．