Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）若AB=CB=2，A₁C=$\sqrt{6}$，
（理科做）求二面角B-AC-A₁的余弦值．
（文科做）求三棱錐A-CA₁B的體積．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA₁，A₁B，推導(dǎo)出△AA₁B為等邊三角形，從而OA₁⊥AB．由此能證明AB⊥A₁C．
（2）（理科做）由題設(shè)知△ABC與△AA₁B都是邊長為2的等邊三角形，從而OA₁⊥OC，進(jìn)而OA₁⊥平面ABC，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OA₁為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AC-A₁的余弦值．
（2）（文科做）由V${\;}_{A-C{A}_{1}B}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$，能求出三棱錐A-CA₁B的體積．

解答 證明：（1）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA₁，A₁B．
因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB．
由于AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
故△AA₁B為等邊三角形，
所以O(shè)A₁⊥AB．
因?yàn)镺C∩OA₁=O，
所以AB⊥平面OA₁C．
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C．
解：（2）（理科做）由題設(shè)知△ABC與△AA₁B都是邊長為2的等邊三角形，
所以O(shè)C=OA₁=$\sqrt{3}$．
又A₁C=$\sqrt{6}$，則A₁C²=OC²+O${{A}_{1}}^{2}$，故OA₁⊥OC．
因?yàn)镺C∩AB=O，所以O(shè)A₁⊥平面ABC，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OA₁為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（1，0，0），C（0，0，$\sqrt{3}$，A₁（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面AA₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角B-AC-A₁的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角B-AC-A₁的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）（文科做）
由OA₁⊥平面ABC，得OA₁=$\sqrt{3}$是三棱錐A₁-ABC的高．
又△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
故三棱錐A-CA₁B的體積：
V${\;}_{A-C{A}_{1}B}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×O{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．