Question

17．已知圓C的方程為（x+1）²+（y-3）²=4，過點(diǎn)（1，0）的直線l的斜率為k，設(shè)圓C上到l的距離為l的點(diǎn)的個(gè)數(shù)z，求z關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 對(duì)k分類討論，即可求出z關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：k不存在時(shí)，直線l：x=1，圓上有兩個(gè)點(diǎn)到l的距離為l，故z=2；
k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-k-3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時(shí)z=3
圓心到直線的距離d=$\frac{|-k-3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=-$\frac{5}{12}$，此時(shí)z=2
圓心到直線的距離d=$\frac{|-k-3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，∴k=0或$\frac{12}{5}$，此時(shí)z=1；
-2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，z=3，0＜k＜$\frac{12}{5}$，z=0
∴z=$\left\{\begin{array}{l}{0，0＜k＜\frac{12}{5}}\\{1，k=0或\frac{12}{5}}\\{2，k=-\frac{5}{12}或不存在}\\{3，-2-\frac{2\sqrt{3}}{3}≤k≤-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．