Question

3．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤0}\\{x-2y-1≥0}\\{x-4y-3≤0}\end{array}\right.$，則z=3x+5y的取值范圍是[-8，9]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到最小值和最大值．

解答 解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=3x+5y得y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$，平移直線y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$，
則由圖象可知當(dāng)直線y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$經(jīng)過點(diǎn)A時直線y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$的截距最小，
此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=1}\\{x-4y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即A（-1，-1），
此時z=3×（-1）+5×（-1）=-8，
當(dāng)直線y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$經(jīng)過點(diǎn)C（3，0）時直線y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$的截距最大，
此時z最大，此時z=3×3+5×0=9，
即-8≤z≤9，
故答案為：[-8，9]．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．