Question

5．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x有理數(shù)}\\{0，x為無(wú)理數(shù)}\end{array}}\right.$，則關(guān)于函數(shù)f（x）有以下四個(gè)命題（　�。�
①?x∈R，f（f（x））=1；
②?x₀，y₀∈R，f（x₀+y₀）=f（x₀）+f（y₀）；
③函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x）是周期函數(shù)．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由函數(shù)的值的求法、函數(shù)的性質(zhì)逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．

解答 解：由$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x有理數(shù)}\\{0，x為無(wú)理數(shù)}\end{array}}\right.$，
可得f（x）=0或1，則?x∈R，f（f（x））=1，故①正確；
當(dāng)${x}_{0}=\sqrt{2}，{y}_{0}=\sqrt{3}$時(shí)，f（x₀+y₀）=f（x₀）+f（y₀），故②正確；
∵x為有理數(shù)，則-x為有理數(shù)，x為無(wú)理數(shù)，則-x為無(wú)理數(shù)，∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故③正確；
任何一個(gè)非0的有理數(shù)都是函數(shù)的周期，∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，故④正確．
∴真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．