Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}是公比為q（q＞1）的等比數(shù)列，其前n項和為S_n．已知S₃=7，且3a₂是a₁+3與a₃+4的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，c_n=b_n（b_n+1-b_n+2），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，可得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=7}\\{6{a}_{1}q={a}_{1}+3+{a}_{1}{q}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得首項與公比，即可求得等比數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）由a_n=2^n-1可得b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$，c_n=b_n（b_n+1-b_n+2）=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），利用裂項法與分組求和法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）依題意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=7}\\{6{a}_{1}q={a}_{1}+3+{a}_{1}{q}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1；
（Ⅱ）∵b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$，c_n=b_n（b_n+1-b_n+2）=$\frac{1}{n}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=[（1-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{3}$）]+[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）]+…+[（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=（1-$\frac{1}{n+1}$）-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{{2n}^{2}+6n+4}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，突出考查裂項法求和與分組求和，屬于難題．