Question

【題目】設(shè)為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間的極大值、極小值各有一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于零得三角不等式，解得單調(diào)增區(qū)間；同理根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于零得三角不等式，解得單調(diào)減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間不可用并集連接，（2）導(dǎo)函數(shù)必有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)函數(shù)圖像得：先增后減再增，比較兩個(gè)端點(diǎn)及兩個(gè)極值點(diǎn)知， ，解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)， ，

令，則單調(diào)增；

令，則單調(diào)增，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）設(shè)，則，

令，則，

令，則，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

故在處取得極大值，在處取得極小值，

，

所以

①若，則在上單調(diào)增，故在無極值，所以；

②若，則在內(nèi)至多有一個(gè)極值點(diǎn)，從而，

于是在區(qū)間內(nèi)分別有極大值、極小值各一個(gè)，

則在內(nèi)無極值點(diǎn)，從而

，所以的取值范圍是.