已知函數(shù),為常數(shù).
(1)若函數(shù)處的切線與軸平行,求的值;
(2)當(dāng)時,試比較的大小;
(3)若函數(shù)有兩個零點、,試證明.
(1);(2)①當(dāng)時,,即;②當(dāng)時,;③當(dāng)時,;(3)詳見解析

試題分析:(1)根據(jù)題意切線平行于x軸即斜率為0,則對函數(shù)求導(dǎo)可得,即,可求出a;(2)根據(jù)題意當(dāng)時,函數(shù)就確定下來了,對其求導(dǎo)可得,可研究出函數(shù)的單調(diào)性情況,為了比較大小可引入一個新的函數(shù),即令,則利用導(dǎo)數(shù)對其進行研究可得,而,則可由m與1的大小關(guān)系進行分類得出結(jié)論;(3)顯然兩零點均為正數(shù),故不妨設(shè),由零點的定義可得:,即,觀察此兩式的結(jié)構(gòu)特征可相加也可相減化簡得:,現(xiàn)在我們要證明,即證明,也就是.又因為,所以即證明,即.由它的結(jié)構(gòu)可令=t,則,于是.構(gòu)造一新函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最小值大于零,即可得證.
(1),由題,.               4分
(2)當(dāng)時,,,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減.
由題,令,
.                  7分
,
①當(dāng)時,,即;
②當(dāng)時,;
③當(dāng)時,.                        10分
(3), ,,
,                                   12分
欲證明,即證
因為,
所以即證,所以原命題等價于證明,即證:,
,則,設(shè),,
所以單調(diào)遞增,又因為,所以,
所以,所以                            16分
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