Question

12．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且5sinC=3sinB，tanA=-$\sqrt{3}$
（1）求$\frac{3sinA}{2sinB+4sinC}$的值；
（2）若△ABC外接圓的面積為196π，求a，b，c的值以及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）先求出A大小，再根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系以及5sinC=3sinB，得到sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{13}$cosC，求出sinC，sinB，問題得以解決；
（2）由正弦定理和三角形的面積公式即可求出．

解答 解：（1）∵tanA=-$\sqrt{3}$，0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵5sinC=3sinB=3sin（π-A-C）=3sin（$\frac{π}{3}$-C）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{3}{2}$sinC，
∴sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{13}$cosC，
∵sin²C+cos²C=1，
∴sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，或sinC=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$（舍去），
∵5sinC=3sinB，
∴sinB=$\frac{5}{3}$sinC=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴$\frac{3sinA}{2sinB+4sinC}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{3}}{2×\frac{5\sqrt{3}}{14}+4×\frac{3\sqrt{3}}{14}}$=$\frac{7}{11}$．
（2）△ABC外接圓的面積為196π，設(shè)外接圓的半徑為R，
則πR²=196π，
∴R=14，
由正弦定理，可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=28，
∴a=28×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=14$\sqrt{3}$，b=28×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=10$\sqrt{3}$，c=28×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=45$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．