Question

16．已知sin（2α+β）=3sinβ，設tanα=x，tanβ=y，y=f（x）．
（1）求證：tan（α+β）=2tanα；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若角α是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式化簡條件可得4cos（α+β）sinα=2sin（α+β）cosα，從而證得要證得等式成立．
（2）由條件根據(jù)tanβ=tan[（α+β）-α]，利用兩角差的正切公式，求得函數(shù)f（x）的解析式．
（3）利用條件可得0＜α＜$\frac{π}{3}$，tanα∈（0，$\sqrt{3}$），即x∈（0，$\sqrt{3}$），由此求得函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{1}{x}+2x}$，利用基本不等式以及函數(shù)的單調性，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）證明：∵sin（2α+β）=3sinβ，∴sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]，
展開可得sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，
4cos（α+β）sinα=2sin（α+β）cosα，∴tan（α+β）=2tanα．
（2）∵tanα=x，tanβ=y，y=f（x），
又tanβ=tan[（α+β）-α]=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）tanα}$=$\frac{2tanα-tanα}{1+2tanα•tanα}$=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$，
即函數(shù)f（x）的解析式y(tǒng)=f（x）=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$．
（3）若角α是一個三角形的最小內(nèi)角，則0＜α＜$\frac{π}{3}$，tanα∈（0，$\sqrt{3}$），即x∈（0，$\sqrt{3}$），
則函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{1}{x}+2x}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取等號．
函數(shù)f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上單調遞增，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$）上單調遞減，
當x趨于零時，f（x））=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$ 趨于0，當x趨于$\sqrt{3}$時，f（x））=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$ 趨于$\frac{\sqrt{3}}{7}$，
故函數(shù)f（x）的值域為（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦、正切公式的應用，求函數(shù)的解析式，基本不等式的應用，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．