Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列；
（2）設a_n=（

2nbn

32n+1

）²，求正項數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*）的兩邊同時除以n（n+1），能證明數(shù)列{

an

n

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由

an

n

=1+（n-1）×1=n，得a_n=n²，從而

2nbn

32n+1

=n，進而b_n=

3

2

•9n，由此能求出正項數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*），
∴

an+1

n+1

=

an

n

+1，
∴數(shù)列{

an

n

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）解：∵數(shù)列{

an

n

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

an

n

=1+（n-1）×1=n，∴a_n=n²，
∵a_n=（

2nbn

32n+1

）²=n²，∴

2nbn

32n+1

=n，
∴b_n=

3

2

•9n，
∴S_n=

3

2

(9+92+93+…+9n)
=

3

2

×

9(1-9n)

1-9

=

27

16

(9n-1)．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．