【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側面ABB1A1是菱形,且CA=CB1.
(1)證明:面CBA1⊥面CB1A;
(2)若∠BAA1=60°,A1C=BC=BA1,求二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)設AB1與A1B交于O,連接OC,先證明AB1⊥平面CA1B,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證;
(2)由A1C=BC,故CO⊥A1B,又(1)知OC⊥AB1,AB1∩A1B=O,故OC⊥平面ABB1A1,以O為原點,分別以OA,OB,OC為x,y,z軸建立空間直角坐標系,求出平面CA1B1和平面C1A1B1的法向量,利用夾角公式求出即可.
(1)證明:設AB1與A1B交于O,連接OC,如圖,
因為側面ABB1A1是菱形,所以AB1⊥A1B,
又CA=CB1,所以OC⊥AB1,又A1B∩CO=O,
故AB1⊥平面CA1B,又AB1平面CAB1,
故平面CBA1⊥平面CB1A;
(2)由A1C=BC,故CO⊥A1B,又(1)知OC⊥AB1,AB1∩A1B=O,
故OC⊥平面ABB1A1,以O為原點,分別以OA,OB,OC為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖,
設A1C=BC=BA1=2,則OC,
則,,A1(0,﹣1,0),B(0,1,0),
由,得,
所以,,,
設平面CA1B1的一個法向量為,
由,得,
設平面C1A1B1的一個法向量為,
由,得 ,
故cos,
又二面角C﹣A1B1﹣C1為銳角,
故二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,是橢圓:的左右兩個焦點,過的直線與交于,兩點(在第一象限),的周長為8,的離心率為.
(1)求的方程;
(2)設,為的左右頂點,直線的斜率為,的斜率為,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:的離心率為,且點在橢圓C上.橢圓C的左頂點為A.
(1)求橢圓C的方程
(2)橢圓的右焦點且斜率為的直線與橢圓交于P,Q兩點,求三角形APQ的面積;
(3)過點A作直線與橢圓C交于另一點B.若直線交軸于點C,且,求直線的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著2022年北京冬奧會的臨近,中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展,冰雪運動人數(shù)快速上升,冰雪運動市場需求得到釋放.如圖是2012-2018年中國雪場滑雪人數(shù)(單位:萬人)與同比增長情況統(tǒng)計圖.則下面結論中正確的是( )
①2012-2018年,中國雪場滑雪人數(shù)逐年增加;②2013-2015年,中國雪場滑雪人數(shù)和同比增長率均逐年增加;③中國雪場2015年比2014年增加的滑雪人數(shù)和2018年比2017年增加的滑雪人數(shù)均為220萬人,因此這兩年的同比增長率均有提高;④2016-2018年,中國雪場滑雪人數(shù)的增長率約為23.4%.
A.①②③B.②③④C.①②D.③④
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城市”的過程中,為了調查市民對創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城市”工作的了解情況,進行了一次知識問卷調查(一位市民只能參加一次).通過隨機抽樣,得到參加問卷調查的1000人的得分(滿分100分)統(tǒng)計結果如下表所示.
組別 | |||||||
頻數(shù) | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)該市把得分不低于80分的市民稱為“熱心市民”,若以頻率估計概率,以樣本估計總體,求從該市的市民中任意抽取一位,抽到“熱心市民”的概率;
(2)由頻數(shù)分布表可以大致認為,此次問卷調查的得分服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示),請用正態(tài)分布的知識求;
(3)在(2)的條件下,該市為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案:
(ⅰ)得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費;
(ⅱ)每次獲贈送的隨機話費和對應的概率為:
贈送的隨機話費(單元:元) | 30 | 60 |
概率 | 0.75 | 0.25 |
現(xiàn)有市民甲要參加此次問卷調查,記(單位:元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費,求的分布列與數(shù)學期望.
附:參考數(shù)據(jù)與公式
,若,則①;
②;③.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x+b|,ab>0.
(1)當a=1,b=1時,求不等式f(x)<3的解集;
(2)若f(x)的最小值為2,求的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年,全國各地區(qū)堅持穩(wěn)中求進工作總基調,經(jīng)濟運行總體平穩(wěn),發(fā)展水平邁上新臺階,發(fā)展質量穩(wěn)步上升,人民生活福祉持續(xù)增進,全年最終消費支出對國內(nèi)生產(chǎn)總值增長的貢獻率為57.8%.下圖為2019年居民消費價格月度漲跌幅度:(同比(本期數(shù)-去年同期數(shù))/去年同期數(shù),環(huán)比(本期數(shù)-上期數(shù))/上期數(shù)
下列結論中不正確的是( )
A.2019年第三季度的居民消費價格一直都在增長
B.2018年7月份的居民消費價格比同年8月份要低一些
C.2019年全年居民消費價格比2018年漲了2.5%以上
D.2019年3月份的居民消費價格全年最低
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學長期堅持貫徹以人為本,因材施教的教育理念,每年都會在校文化節(jié)期間舉行“數(shù)學素養(yǎng)能力測試”和“語文素養(yǎng)能力測試”兩項測試,以給學生課外興趣學習及輔導提供參考依據(jù).成績分為,,,,五個等級(等級,,,,分別對應5分,4分,3分,2分,1分).某班學生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示,其中“語文素養(yǎng)能力測試”科目的成績?yōu)?/span>的考生有3人.
(1)求該班“數(shù)學素養(yǎng)能力測試”的科目平均分以及“數(shù)學素養(yǎng)能力測試”科目成績?yōu)?/span>的人數(shù);
(2)若該班共有9人得分大于7分,其中有2人10分,3人9分,4人8分.從這9人中隨機抽取三人,設三人的成績之和為,求.
(3)從該班得分大于7分的9人中選3人即甲,乙,丙組隊參加學校內(nèi)的“數(shù)學限時解題挑戰(zhàn)賽”.規(guī)則為:每隊首先派一名隊員參加挑戰(zhàn)賽,在限定的時間,若該生解決問題,即團隊挑戰(zhàn)成功,結束挑戰(zhàn);若解決問題失敗,則派另外一名隊員上去挑戰(zhàn),直至派完隊員為止.通過訓練,已知甲,乙,丙通過挑戰(zhàn)賽的概率分別是,,,問以怎樣的先后順序派出隊員,可使得派出隊員數(shù)目的均值達到最。浚ㄖ恍鑼懗鼋Y果)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐的棱長均為6,其內(nèi)有個小球,球與三棱錐的四個面都相切,球與三棱錐的三個面和球都相切,如此類推,…,球與三棱錐的三個面和球都相切(,且),則球的體積等于__________,球的表面積等于__________.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com