Question

7．已知圓N經(jīng)過點A（3，1），B（-1，3），且它的圓心在直線3x-y-2=0上．
（Ⅰ）求圓N的方程；
（Ⅱ）求圓N關(guān)于直線x-y+3=0對稱的圓的方程．
（Ⅲ）若點D為圓N上任意一點，且點C（3，0），求線段CD的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先設(shè)出方程，將點坐標(biāo)代入得到關(guān)于參數(shù)的方程組，通過解方程組得到參數(shù)值，從而確定其方程；
（Ⅱ）求出N（2，4）關(guān)于x-y+3=0的對稱點為（1，5），即可得到圓N關(guān)于直線x-y+3=0對稱的圓的方程；
（Ⅲ）首先設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用中點得到點D坐標(biāo)，代入圓的方程整理化簡得到的中點M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知可設(shè)圓心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
從而有$\sqrt{{{（a-3）}^2}+{{（3a-2-1）}^2}}=\sqrt{{{（a+1）}^2}+{{（3a-2-3）}^2}}$，解得：a=2．
于是圓N的圓心N（2，4），半徑$r=\sqrt{{{（a-3）}^2}+{{（3a-2-1）}^2}}=\sqrt{10}$．
所以，圓N的方程為（x-2）²+（y-4）²=10．（5分）
（Ⅱ）N（2，4）關(guān)于x-y+3=0的對稱點為（1，5），
所以圓N關(guān)于直線x-y+3=0對稱的圓的方程為（x-1）²+（y-5）²=10（9分）
（Ⅲ）設(shè)M（x，y），D（x₁，y₁），則由C（3，0）及M為線段CD的中點得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+3}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+0}}{2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2x-3\\{y_1}=2y\end{array}\right.$．
又點D在圓N：（x-2）²+（y-4）²=10上，所以有（2x-3-2）²+（2y-4）²=10，
化簡得：${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-2）^2}=\frac{5}{2}$．
故所求的軌跡方程為${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-2）^2}=\frac{5}{2}$．（13分）

點評 本題考查圓的方程，考查參數(shù)法，圓的方程一般采用待定系數(shù)法，屬于中檔題．