Question

2．圖中的三個直角三角形是一個體積為20cm的幾何體的三視圖，該幾何體的外接球表面積為77πcm²

Answer 1

分析 作出直觀圖，求出棱錐的體積，根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征作出球心位置計算半徑．

解答 解：由三視圖可知幾何體為三棱錐，作出其直觀圖三棱錐A-BCD．
由三視圖可知AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BD=5，BC=6，AB=h，
∴三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×5×6×h$=20，∴AB=4．
取AC，BC，CD的中點E，F(xiàn)，G連結(jié)EF，F(xiàn)G，過G作GH⊥平面BCD，GH=$\frac{1}{2}$AB=2，連結(jié)EH，
則H為三棱錐外接球的球心．
∵CD=$\sqrt{B{C}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{61}$，∴CG=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$．
∴CH=$\sqrt{C{G}^{2}+H{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{77}}{2}$．
∴外接球的面積S=4πCH²=77π．
故答案為77π．

點評 本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，多面體與外接球的計算，尋找外接球球心是關(guān)鍵．