Question

13．已知拋物線y²=2x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離與其到對稱軸的距離之比為9：4，且|AF|＞2，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為（　�。�

• A． $\sqrt{41}$
• B． 4$\sqrt{5}$
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，y₁），求出拋物線的準(zhǔn)線方程，結(jié)合拋物線的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得A到原點(diǎn)的距離．

解答 解：假設(shè)A在第一象限，A（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），y₁²=2x₁，
拋物線y²=2x的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{2}$，
根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，由|AF|=a+$\frac{1}{2}$＞2，則a＞$\frac{3}{2}$，
則A到對稱軸的距離d=y₁，
∵點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離與其到對稱軸的距離之比為9：4，
∴$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{9}{4}$，
∴解得：x₁=$\frac{73+9\sqrt{65}}{16}$，y₁=$\frac{9+\sqrt{65}}{4}$，
則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離丨OA丨=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{（\frac{73+9\sqrt{65}}{16}）^{2}+（\frac{9+\sqrt{65}}{4}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
A到原點(diǎn)的距離4$\sqrt{5}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線性質(zhì)和定義的應(yīng)用，利用拋物線的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中檔題．