【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣blnx在點(1,f(1))處的切線為y=1.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)m,當(dāng)x∈(0,1]時,函數(shù)g(x)=f(x)﹣x2+m(x﹣1)的最小值為0,若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由;
(Ⅲ)若0<x1<x2 , 求證: <2x2

【答案】解:(Ⅰ)由f(x)=ax2﹣blnx,得:
,
∵函數(shù)f(x)=ax2﹣blnx在點(1,f(1))處的切線為y=1,
,解得a=1,b=2;
(II)由(Ⅰ)知,f(x)=x2﹣2lnx,
∴g(x)=f(x)﹣x2+m(x﹣1)=m(x﹣1)﹣2lnx,x∈(0,1],
,
①當(dāng)m≤0時,g′(x)<0,
∴g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,
∴g(x)min=g(1)=0.
②當(dāng)0<m≤2時,
∴g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,
∴g(x)min=g(1)=0.
③當(dāng)m>2時,g′(x)<0在 上恒成立,g′(x)>0在 上恒成立,
∴g(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增.

∴g(x)min≠0.
綜上所述,存在m滿足題意,其范圍為(﹣∞,2];
(III)證明:由(II)知,m=1時,g(x)=x﹣1﹣2lnx在(0,1)上單調(diào)遞減,
∴x∈(0,1)時,g(x)>g(1)=0,
即x﹣1>2lnx.
∵0<x1<x2
∴0< ,

,
∵lnx2>lnx1 ,

【解析】(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由f(1)=1且f′(1)=0聯(lián)立求得a,b的值;(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的f(x)的解析式代入g(x)=f(x)﹣x2+m(x﹣1),求其導(dǎo)函數(shù),然后對m分類分析導(dǎo)函數(shù)的符號,得到原函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值.特別當(dāng)m>2時,g(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,求出g(x)的最小值小于0.則m的取值范圍可求;(Ⅲ)由(II)知,m=1時,g(x)=x﹣1﹣2lnx在(0,1)上單調(diào)遞減,得到x﹣1>2lnx,由0<x1<x2得到
0< ,代入x﹣1>2lnx證得答案.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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C.1650輛
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