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5.已知a2+b2≥t(a+b-2)對(duì)a>1,b>1恒成立,則t的最大值為4.

分析 利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:由a2+b2≥t(a+b-2)對(duì)a>1,b>1恒成立,
∴t≤a2+2a+b2恒成立,
即t≤a1+12+b1+12a1+b1=a12+b12+2a1+b1+2a1+b1,
令x=a-1,y=b-1,x>0,y>0,
∴t≤x2+y2+2x+y+2x+y=x2+y2x+y+2x+y+2恒成立,
只需要t≤(x2+y2x+y+2x+y+2)min,
∵x2+y2≥2xy,
∴2(x2+y2)≥2xy+x2+y2=(x+y)2,
x2+y2x+yx+y2
x2+y2x+y+2x+y+2≥x+y2+2x+y+2≥22x+yx+y2+2=4,
∴t≤4,
∴t的最大值為4,
故答案為:4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用,關(guān)鍵是換元和靈活變換,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)證明:\overrightarrow{a},\overrightarrow可以作為一組基底;
(2)以\overrightarrow{a}\overrightarrow為基底,求向量\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}的分解式;
(3)若4\overrightarrow{{e}_{1}}-3\overrightarrow{{e}_{2}}\overrightarrow{a}\overrightarrow,求λ,μ的值.

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