Question

市場(chǎng)上有一種新型的強(qiáng)力洗衣液，特點(diǎn)是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=a•f（x），其中f（x）=

16 8-x -1，0≤x≤4 5- 1 2 x，4＜x≤10

．若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效去污的作用．
（Ⅰ）若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？
（Ⅱ）若第一次投放2個(gè)單位的洗衣液，6分鐘后再投放a個(gè)單位的洗衣液，要使接下來(lái)的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污，試求a的最小值（按四舍五入精確到0.1）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）a=4，所以y=

64 8-x -4，0≤x≤4 20-2x，4＜x≤10

，利用水中洗衣液的濃度不低于4（克/升），利用分段函數(shù)的意義分類(lèi)討論即可解出；
（II）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4≥8

a

-a-4，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閍=4，所以y=

64 8-x -4，0≤x≤4 20-2x，4＜x≤10

．（1分）
則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由

64

8-x

-4≥4，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4．（3分）
當(dāng)4＜x≤10時(shí)，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此時(shí)4＜x≤8．（5分）
綜上，得0≤x≤8，若一次投放4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)8分鐘．（6分）
（Ⅱ）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4≥8

a

-a-4（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)14-x=4

a

時(shí)等號(hào)取到．（因?yàn)?≤a≤4，所以x∈[6，10]能取到）
所以y有最小值8

a

-a-4．（12分）
令8

a

-a-4≥4，解得24-16

2

≤a≤4，
所以a的最小值為24-16

2

≈1.4．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的意義及基本不等式的運(yùn)用、分類(lèi)討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．