Question

14．正四棱錐的側(cè)棱長是底面長的k倍，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞}）
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 從棱錐頂點向底面正方形中心引一輔助線，該輔助線垂直底面，輔助線、側(cè)棱與正方形對角線的一半構(gòu)成直角三角形，
側(cè)棱為斜邊；根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系即可求出k的取值范圍．

解答 解：如圖所示，
設(shè)正四棱錐V-ABCD底面中心為O，BC=a，
則VB=ka，易知OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；
在Rt△VOB中，cos∠VBO=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{ka}$₌$\frac{\sqrt{2}}{2k}$，
∵∠VBO∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴0＜$\frac{\sqrt{2}}{2k}$＜1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{2k＞\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得k＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴k的取值范圍是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題目．