【題目】已知函數(shù).

（1）證明函數(shù)在上為減函數(shù)；

（2）求函數(shù)的定義域，并求其奇偶性；

（3）若存在，使得不等式能成立，試求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2），奇函數(shù)；（3）.

【解析】

（1）利用單調(diào)性定義證明即可.

（2）根據(jù)條件可得，其解集即為函數(shù)的定義域，可判斷定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再根據(jù)奇偶性定義可判斷函數(shù)的奇偶性.

（3）令，考慮在上有解即可，參變分離后利用基本不等式可求實數(shù)的取值范圍.

（1），，，

又，

因為，，，故，，，

故即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).

（2）的滿足的不等關(guān)系有：即，

故，解得，

故函數(shù)的定義域為，，該定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

令

又

，

故為奇函數(shù).

（3）令，因為，故.

故在上不等式能成立即為

存在，使得，所以在上能成立，

令，則且，

由基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

故的最大值為，所以a的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼吸酒精含量閥值與檢驗》國家標(biāo)準(zhǔn)，新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫克升為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車，經(jīng)過反復(fù)試驗，喝1瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如下：

該函數(shù)模型如下：

根據(jù)上述條件，回答以下問題：

（1）試計算喝1瓶啤酒后多少小時血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值是多少？

（2）試計算喝1瓶啤酒后多少小時后才可以駕車？（時間以整小時計算）

（參數(shù)數(shù)據(jù)： ， ， ）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．

（1）若a＝1，求函數(shù)f(x)的極值；

（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的范圍；

（3）對于曲線y＝f(x)上的兩個不同的點(diǎn)P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線PQ的斜率為k，若y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)，證明：f ′()＜k．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，則此橢圓離心率的取值范圍是____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對應(yīng)關(guān)系如下表：

AQI指數(shù)值

0～50

51～100

101～150

151～200

201～300

＞300

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢：

下列敘述錯誤的是

A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占

C. 該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好

D. 總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，當(dāng)時，.

（Ⅰ）若函數(shù)過點(diǎn)，求此時函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，求實數(shù)的值；

（Ⅲ）設(shè)，若對任意實數(shù)，函數(shù)在上的最大值與最小值的差不大于1，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】受日月引力影響，海水會發(fā)生漲退潮現(xiàn)象．通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)港口，退潮時離開港口．某港口在某季節(jié)每天港口水位的深度（米）是時間（，單位：小時，表示0：00—零時）的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式為．已知一天中該港口水位的深度變化有如下規(guī)律：出現(xiàn)相鄰兩次最高水位的深度的時間差為12小時，最高水位的深度為12米，最低水位的深度為6米，每天13：00時港口水位的深度恰為10．5米．

（1）試求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）某貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，安全條例規(guī)定船舶航行時船底與海底的距離不小于3．5米是安全的，問該船在當(dāng)天的什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲于當(dāng)天安全離港，則它最遲應(yīng)在當(dāng)天幾點(diǎn)以前離開港口？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E： （a﹥b﹥0）的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案