Question

已知函數f（x）=

ax2+x， x≥0 x-ax2， x＜0

，設關于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為M，若[-

1

2

，

1

2

]⊆M，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由題意可得，在[-

1

2

，

1

2

]上，函數y=f（x+a）的圖象應在函數y=f（x）的圖象的下方．當a=0或 a＞0時，檢驗不滿足條件．當a＜0時，應有f（-

1

2

+a）＜f（-

1

2

），化簡可得 a²-a-1＜0，解得

1- 5

2

＜a＜

1+ 5

2

，由此求得a的范圍．

解答： 解：由于f（x）=

ax2+x， x≥0 x-ax2， x＜0

，
關于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為M，若[-

1

2

，

1

2

]⊆M，
則在[-

1

2

，

1

2

]上，函數y=f（x+a）的圖象應在函數y=f（x）的圖象的下方．
當a=0時，顯然不滿足條件．
當a＞0時，函數y=f（x+a）的圖象是把函數y=f（x）的圖象向左平移
a個單位得到的，
結合圖象（右上方）可得不滿足函數y=f（x+a）的圖象在函數
y=f（x）的圖象下方．
當a＜0時，如圖所示，要使在[-

1

2

，

1

2

]上，
函數y=f（x+a）的圖象在函數y=f（x）的圖象的下方，
只要f（-

1

2

+a）＜f（-

1

2

）即可，
即-a（-

1

2

+a）²+（-

1

2

+a）＜-a（-

1

2

）²-

1

2

，
化簡可得 a²-a-1＜0，解得

1- 5

2

＜a＜

1+ 5

2

，
故此時a的范圍為（

1- 5

2

，0）．
綜上可得，a的范圍為（

1- 5

2

，0），
故答案為：（

1- 5

2

，0）．

點評：本題考查函數的單調性、二次函數的性質、不等式等知識，考查數形結合思想、分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，注意排除法在解決選擇題中的應用，屬于中檔題．